Question

【題目】已知數(shù)列｛｝的首項a1＝2，前n項和為，且數(shù)列｛｝是以為公差的等差數(shù)列·

（1）求數(shù)列｛｝的通項公式；

（2）設(shè)，，數(shù)列｛｝的前n項和為，

①求證：數(shù)列｛｝為等比數(shù)列，

②若存在整數(shù)m，n(m＞n＞1)，使得，其中為常數(shù)，且－2，求的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見證明；②當n=2，m=4時，λ=-2，當n=2，m=3時，λ=-1.

【解析】

（1）先求解等差數(shù)列的通項公式，再根據(jù)求解的通項公式；（2）①采用錯位相減法先求，再根據(jù)，證明為等比數(shù)列；②將所給的等式變形，然后得到對應(yīng)的等量關(guān)系，接著分析此等量關(guān)系（借助數(shù)列的單調(diào)性）在什么時候滿足即取什么值時能滿足要求.

（1）因為，所以

所以

即

當時，

∴

當n=1時，，符合上述通項，所以

(2）①因為，所以

所以

則

兩式相減，可整理得

∴，，且

所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.

②由①可知，，且由（1）知，代入

可得

整理得

即：，設(shè)，則

則

因為，所以當時，，即

因為，且

所以

所以或，即n=2，m=4或3

當n=2，m=4時，λ=-2，

當n=2，m=3時，λ=-1.