Question

已知函數(shù)

（I）若函數(shù)在處的切線垂直于軸，求實數(shù)a的值；

(II) 在（I）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(III) 若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解：（I）定義域為

 

依題意，.

所以，解得                    ……………4分  

（II）時，，定義域為，

            

當或時,，

當時，，

故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.----8分

（III）解法一：由，得在時恒成立，

令，則

令，則

在為增函數(shù)， .

故，故在為增函數(shù). ，

所以 ，即實數(shù)的取值范圍為.          ……………13分    

解法二：

令，則，

_（i）當，即時，恒成立，

在上單調(diào)遞增，

，即，所以；

(ii)當，即時，恒成立，

在上單調(diào)遞增，

，即，所以；

(iii)當，即或時，

方程有兩個實數(shù)根

若，兩個根，

當時，，在上單調(diào)遞增，

則，即，所以；

若，的兩個根，

，且在是連續(xù)不斷的函數(shù)

所以總存在，使得，不滿足題意.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.                        ……………13分