Question

已知函數(shù)

（I）若函數(shù)在處的切線垂直于軸，求實(shí)數(shù)a的值；

(II) 在（I）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(III) 若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解：（I）定義域?yàn)?sub>

 

依題意，.

所以，解得                    ……………4分  

（II）時(shí)，，定義域?yàn)?sub>，

            

當(dāng)或時(shí),，

當(dāng)時(shí)，，

故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.----8分

（III）解法一：由，得在時(shí)恒成立，

令，則

令，則

在為增函數(shù)， .

故，故在為增函數(shù). ，

所以 ，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.          ……………13分    

解法二：

令，則，

_（i）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

在上單調(diào)遞增，

，即，所以；

(ii)當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

在上單調(diào)遞增，

，即，所以；

(iii)當(dāng)，即或時(shí)，

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

若，兩個(gè)根，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

則，即，所以；

若，的兩個(gè)根，

，且在是連續(xù)不斷的函數(shù)

所以總存在，使得，不滿足題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.                        ……………13分