Question

四棱錐S-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：SD∥平面CFA；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)EF，由已知條件推導(dǎo)出EF∥SD，由此能夠證明SD∥平面CFA．
（Ⅱ）以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OC，OS為x，y，z軸空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出面SCD與面SAB所成二面角大小．

解答： 解：（Ⅰ） 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)EF，
∵底面ABCD為平行四邊形，∴E為BD的中點(diǎn)．（2分）
在△BSD中，∵F為SB的中點(diǎn)，∴EF∥SD，（3分）
又∵EF?面CFA，SD?面CFA，∴SD∥平面CFA．（5分）
（Ⅱ）以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以O(shè)A，OC，OS為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
∵∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn)，
∴A(

2

，0，0)，B(0，-

2

，0)，S(0，0，

2

)，C(0，

2

，0)，
∴

SA

=(

2

，0，-

2

)，

SB

=(0，-

2

，-

2

)，

CS

=(0，-

2

，

2

)，

CD

=

BA

=(

2

，

2

，0)，（7分）
設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為

n1

=(x，y，z)
由

n1 • SA =0 n1 • SB =0

，得

2 x- 2 z=0 - 2 y- 2 z=0

，
令z=1得：x=1，y=-1，∴

n1

=(1，-1，1)．（9分）
同理設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為

n2

=(a，b，c)
由

n2 • CD =0 n2 • CS =0

，得

2 a+ 2 b=0 - 2 b+ 2 c=0

，
令b=1得：a=-1，c=1，
∴

n2

=(-1，1，1)．（10分）
設(shè)面SCD與面SAB所成二面角為θ
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

3

，
∴θ=arccos

1

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．