Question

如圖，在幾何體ABC-A₁B₁C₁中，點A₁，B₁，C₁在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A，B，C，且AB⊥BC，AA₁=BB₁=4，AB=BC=CC₁=2，E為AB₁中點，
（Ⅰ）求證；CE∥平面A₁B₁C₁，
（Ⅱ）求證：求二面角B₁-AC₁-C的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）取A₁B₁中點F，連接EF，F(xiàn)C，證明CE∥平面A₁B₁C₁，只需證明CE∥C₁F；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACC₁、平面AB₁C₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B₁-AC₁-C的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵點A₁，B₁，C₁在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A，B，C，
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
取A₁B₁中點F，連接EF，F(xiàn)C，則EF∥

1

2

A₁A，EF=

1

2

A₁A，
∵AA₁4，CC₁=2，∴CC₁∥

1

2

A₁A，CC₁=

1

2

A₁A，
∴CC₁∥EF，CC₁=EF，
∴四邊形EFC₁C為平行四邊形，
∴CE∥C₁F，
∵CE?平面A₁B₁C₁，C₁F?平面A₁B₁C₁，
∴CE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（0，0，4），C₁（0，2，2），
∴

AC

=（-2，2，0），

CC1

=（0，0，2），

AB1

=（-2，0，4），

B1C1

=（0，2，-2）．
設(shè)平面ACC₁的法向量為

n

=（x，y，z），則

-2x+2y=0 2z=0

，
令x=1，則

n

=（1，1，0）．
同理可得平面AB₁C₁的法向量為

m

=（2，1，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

m • n

| m || n |

=

3

2

．
由圖可知二面角B₁-AC₁-C為鈍角，
∴二面角B₁-AC₁-C的大小為150°．

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握線面平行的判定定理，正確運用向量法是關(guān)鍵．