Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：，n∈N^*，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）設c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N^*，證明：{c_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N^*，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要求a₃，a₄，a₅的值；通過賦值方法，利用已知條件化簡求解即可．
（Ⅱ）化簡出a_2n-1+a_2n+1，a_2n+1+a_2n+3的關系，即：c_n+1與c_n的關系，從而證明{c_n}是等比數(shù)列；就是利用（Ⅰ）的，用2n-1，2n，2n+1，替換中的n，化簡出只含“a_n”的關系式，就是a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③然后推出a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1），得到c_n+1=-c_n（n∈N^*），從而證明{c_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）先研究通項公式a_2k，推出S_k的表達式，然后計算，結合證明的表達式，利用表達式的特征，通過裂項法以及放縮法證明即可；就是：根據(jù)a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，對任意k∈N^*且k≥2，列出n個表達式，利用累加法求出a_2k=（-1）^k+1（k+3）．化簡
S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，k∈N^*，，通過裂項法以及放縮法證明：．
解答：20、滿分14分．
（I）解：由，
可得
又b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，
（II）證明：對任意n∈N^*，a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③
②-③，得a_2n=a_2n+3．④
將④代入①，可得a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1）
即c_n+1=-c_n（n∈N^*）
又c₁=a₁+a₃=-1，故c_n≠0，
因此是等比數(shù)列．
（III）證明：由（II）可得a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，
于是，對任意k∈N^*且k≥2，有
將以上各式相加，得a₁+（-1）^ka_2k-1=-（k-1），
即a_2k-1=（-1）^k+1（k+1），
此式當k=1時也成立．由④式得a_2k=（-1）^k+1（k+3）．
從而S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，S_2k-1=S_2k-a_4k=k+3．
所以，對任意n∈N^*，n≥2，====
對于n=1，不等式顯然成立．
點評：本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．賦值法是求數(shù)列前幾項的常用方法，注意n=1的驗證，裂項法和放縮法的應用．