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已知數列{an}與{bn}滿足:bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=
3+(-1)n
2
,n∈N*,且a1=2,a2=4.
(Ⅰ)求a3,a4,a5的值;
(Ⅱ)設cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,證明:{cn}是等比數列;
(Ⅲ)設Sk=a2+a4+…+a2k,k∈N*,證明:
4n
k=1
Sk
ak
7
6
(n∈N*)
分析:(Ⅰ)要求a3,a4,a5的值;通過賦值方法,利用已知條件化簡求解即可.
(Ⅱ)化簡出a2n-1+a2n+1,a2n+1+a2n+3的關系,即:cn+1與cn的關系,從而證明{cn}是等比數列;就是利用(Ⅰ)的bn=
1,n為奇數
2,n為偶數
,用2n-1,2n,2n+1,替換bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=
3+(-1)n
2
中的n,化簡出只含“an”的關系式,就是a2n-1+a2n+2a2n+1=0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0,②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,③然后推出a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1),得到cn+1=-cn(n∈N*),從而證明{cn}是等比數列;
(Ⅲ)先研究通項公式a2k,推出Sk的表達式,然后計算
Sk
ak
,結合證明的表達式,利用表達式的特征,通過裂項法以及放縮法證明即可;就是:根據a2k-1+a2k+1=(-1)k,對任意k∈N*且k≥2,列出n個表達式,利用累加法求出a2k=(-1)k+1(k+3).化簡
S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,k∈N*,
4n
k=1
Sk
ak
=
n
m=1
(
S4m-3
a4m-3
+
S4m-2
a4m-2
+
S4m-1
a4m-1
+
S4m
a4m
)
,通過裂項法以及放縮法證明:
4n
k=1
Sk
ak
7
6
(n∈N*)
解答:20、滿分14分.
(I)解:由bn=
3+(-1)n
2
,n∈N*

可得bn=
1,n為奇數
2,n為偶數

又bnan+an+1+bn+1an+2=0,
當n=1時,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;
當n=2時,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5;
當n=3時,a3+a4+2a5=0,可得a5=4.

(II)證明:對任意n∈N*,a2n-1+a2n+2a2n+1=0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0,②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,③
②-③,得a2n=a2n+3.④
將④代入①,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1
即cn+1=-cn(n∈N*
又c1=a1+a3=-1,故cn≠0,
因此
cn+1
cn
=-1,所以{cn}
是等比數列.
(III)證明:由(II)可得a2k-1+a2k+1=(-1)k
于是,對任意k∈N*且k≥2,有
a1+a3=-1,
-(a3+a5)=-1,
a5+a7=-1,
?
(-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.

將以上各式相加,得a1+(-1)ka2k-1=-(k-1),
即a2k-1=(-1)k+1(k+1),
此式當k=1時也成立.由④式得a2k=(-1)k+1(k+3).
從而S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3.
所以,對任意n∈N*,n≥2,
4n
k=1
Sk
ak
=
n
m=1
(
S4m-3
a4m-3
+
S4m-2
a4m-2
+
S4m-1
a4m-1
+
S4m
a4m
)
=
n
m=1
(
2m+2
2m
-
2m-1
2m+2
-
2m+3
2m+1
+
2m
2m+3
)
=
n
m=1
(
2
2m(2m+1)
+
3
(2m+2)(2m+2)
)
=
2
2×3
+
n
m=2
5
2m(2m+1)
+
3
(2n+2)(2n+3)
1
3
+
n
m=2
5
(2m-1)(2m+1)
+
3
(2n+2)(2n+3)
=
1
3
+
5
2
•[(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]+
3
(2n+2)(2n+3)
=
1
3
+
5
6
-
5
2
1
2n+1
+
3
(2n+2)(2n+3)
7
6
.

對于n=1,不等式顯然成立.
點評:本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.賦值法是求數列前幾項的常用方法,注意n=1的驗證,裂項法和放縮法的應用.
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已知數列{an}與{bn}的前n項和分別是Sn和Tn,已知S100=41,T100=49,記Cn=anTn+bnSn-anbn(n∈N*),那么數列{Cn}的前100項和
100i=1
Ci
=
 

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已知數列{an}與{bn}滿足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,bn=
3+(-1)n-1
2
,n∈N*,且a1=2.
(Ⅰ)求a2,a3的值
(Ⅱ)設cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,證明{cn}是等比數列
(Ⅲ)設Sn為{an}的前n項和,證明
S1
a1
+
S2
a2
+…+
S2n-1
a2n-1
+
S2n
a2n
≤n-
1
3
(n∈N*

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}與{bn}有如下關系:a1=2,an+1=
1
2
an,bn=
an+1
an-1
則數列{bn}的通項公式為
 

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已知數列{an}與{bn}有如下關系:a1=2,an+1=
1
2
(an+
1
an
),bn=
an+1
an-1

(1)求數列{bn}的通項公式.
(2)設Sn是數列{an}的前n項和,當n≥2時,求證:Sn<n+
4
3

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