Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若對(duì)任意、，且，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，然后分和兩種情況討論，分析在的符號(hào)，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，由函數(shù)和在上的單調(diào)性，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，并構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上是減函數(shù)，然后由在上恒成立，結(jié)合參變量分離法可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得；由得.

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

不妨設(shè)，則，，

等價(jià)于，

即，令，

等價(jià)于函數(shù)在上是減函數(shù)，

，即在恒成立，

分離參數(shù)，得，

令，，在上單調(diào)遞減，

，，又，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.