Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）求在區(qū)間上的最小值；

（3）在（1）的條件下，若，求證：當(dāng)，恒有

Answer 1

【答案】(1) (2) 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上的最小值為（3）見解析

【解析】試題分析：(1) ,又，易得： ，檢驗(yàn)滿足題意即可；

（2）對(duì)分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到在區(qū)間上的最小值；

（3）欲證，只需證，即證，即，

設(shè)，求函數(shù)的最小值大于零即可.

試題解析：

（1）由，定義域?yàn)?/span>

得

因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，

所以，即，解得

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以。

（2）由（1）得 ，定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，由得，且

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增

所以函數(shù)在處取得最小值

綜上，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上的最小值為；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上的最小值為

（3）證明：由得

當(dāng)時(shí)， ，

欲證，只需證

即證，即

設(shè)

則

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增。

所以當(dāng)時(shí)， ，即

故

所以當(dāng)時(shí)， 恒成立。