Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面邊長和側(cè)棱長均為a，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=

6

2

a，求異面直線AC與BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點C₁，得到的銳角∠BC₁A₁就是異面直線所成的角，在三角形BC₁A₁中再利用余弦定理求出此角即可．

解答：解：過點B作BO⊥AC，垂足為點O，則BO⊥側(cè)面ACC₁A₁，連接A₁O，在Rt△A₁BO中，A₁B=

6

2

a，BO=

3

2

a，∴A₁O=

3

2

a．
又AA₁=a，AO=

a

2

．∴△A₁AO為直角三角形，A₁O⊥AC，A₁O⊥底面ABC．
∵A₁C₁∥AC，∴∠BC₁A₁為異面直線AC與BC₁所成的角．
∵A₁O⊥面ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A₁B．∴A₁C₁⊥A₁B．
在Rt△A₁BC₁中，A₁B=

6

2

a，A₁C₁=a，
∴BC₁=

10

2

a．∴cos∠BC₁A₁=

10

5

．
∴異面直線AC與BC₁所成角的余弦值為

10

5

．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．