Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù)．

（1）是否存在，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）若集合中恰有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，；（2）．

【解析】

試題分析：（1），即，解得，所以時(shí)，；（2）有相異實(shí)根時(shí)，

，解得或．，當(dāng)時(shí)，， 有解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值可知 有解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值可知有解時(shí)．

試題解析：

（1）

∴

∴時(shí)，

（2）有2相異實(shí)根時(shí)，

，∴或，有3個(gè)相異實(shí)根時(shí)，

當(dāng)時(shí)，， =0有1解；

當(dāng)時(shí)，，在上增，上減，上增，極大值，有1解；

當(dāng)時(shí)，，在上增，上減，上增，極小值，要使有3解，只須，∴．

下面用反證法證明時(shí)，5個(gè)根相異．假設(shè)

即兩式相減得：

若代入②得0-1=0矛盾；若代入①得，這與矛盾．所以假設(shè)不成立，即5個(gè)根相異．綜上，．