【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+2x ,
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù);
(3)若f(x)=52x+3,求x的值.

【答案】
(1)解:f(x)=2x+2x的定義域為R,關(guān)于原點對稱;

又f(﹣x)=2x+2x=f(x),

∴f(x)為偶函數(shù).


(2)證明:設(shè)x1,x2是(0,+∞)任意的兩個數(shù)且x1<x2

=

= ,

∵0<x1<x2,y=2x是增函數(shù),

;

∴f(x1)﹣f(x2)<0,

即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)


(3)解:由題意可知,2x+2x=52x+3

令2x=t,(t>0),則

解得t=﹣1(舍去)或者t=4.

即2x=4,

∴x=2.


【解析】(1)先求f(x)的定義域,再判斷f(﹣x)與f(x)的關(guān)系即可;(2)先設(shè)x1 , x2是(0,+∞)任意的兩個數(shù)且x1<x2 , 從而作差化簡 = ,從而判號即可;(3)由題意可知,2x+2x=52x+3,利用換元法令2x=t,(t>0),從而得到 ,從而解出t,再求x.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較,以及對函數(shù)的奇偶性的理解,了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

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