Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當(dāng)x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f(1)=

1

2

，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f(2(log2x)2-4)+f(4m-2(log2x))＞0對于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷,抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）在給出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=-x可證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，借助于已知等式證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)，從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；
（3）由奇偶性把給出的不等式變形，然后利用單調(diào)性去掉“f”，換元后利用分離變量法求m的取值范圍．

解答： 解：（1）令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x），即f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，且x₁＜x₂，
∴f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-2時，函數(shù)有最小值，f（x）_min=f（-2）=f（2）=2f（1）=1．
當(dāng)x=6時，函數(shù)有最大值，f（x）_max=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函數(shù) f（x）為奇函數(shù)，
∴不等式f(2(log2x)2-4)+f(4m-2(log2x))＞0可化為f(2(log2x)2-4)＞f(2log2x-4m)，
又∵f（x）為增函數(shù)，∴2(log2x)2-4＞2log2x-4m，
令t=log₂x，則0≤t≤1，
問題就轉(zhuǎn)化為2t²-4＞2t-4m在t∈[0，1]上恒成立，
即4m＞-2t²+2t+4對任意t∈[0，1]恒成立，
令y=-2t²+2t+4，只需4m＞y_max，
而y=-2t2+2t+4=-2(t-

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2

)2+

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2

 （0≤t≤1），
∴當(dāng)t=

1

2

時，ymax=

9

2

，則4m＞

9

2

．
∴m的取值范圍就為m＞

9

8

．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，該類問題常采用取特值的辦法，關(guān)鍵在于靈活變化，訓(xùn)練了分離變量法及配方法求變量的范圍，是中檔題．