Question

【題目】已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論：

①為偶函數(shù)；②的值域為；

③在上單調(diào)遞減；④在上恰有8個零點，

其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由偶函數(shù)的定義可判斷①正確，借助二倍角公式將函數(shù)化簡為利用二次函數(shù)性質(zhì)計算可得②錯誤，利用復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷在上單調(diào)遞減，且，則在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可得出③正確，利用函數(shù)與方程的思想解方程即可判斷④錯誤.

由，故為偶函數(shù)，①正確；，

記，則，

當時，取得最大值2，當時，取9得最小值，

即的值域為，所以的值域為，②錯誤；

在上的單調(diào)性與它在上的單調(diào)性剛好相反，

當時，單調(diào)遞增，且，而在時單調(diào)遞減，

故在上單調(diào)遞減，又此時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得在單調(diào)遞減，③正確；

令，得或，而當時，及恰有3個不等的實根，，，

即在區(qū)間上恰有3個零點，結(jié)合奇偶性可知，即在區(qū)間上恰有6個零點，④錯誤.

故正確的是①③.

故選:A.