【題目】已知動點P與點的距離比它到直線的距離小1.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）設P為直線上任一點，過點P作曲線C的切線，，切點分別為A，B，直線，與y軸分別交于M，N兩點，點、的縱坐標分別為m，n，求證：m與n的乘積為定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意分析，點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，再根據(jù)拋物線的定義可求得拋物線方程；

（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為，再分別將直線、與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于0，得到，再根據(jù)、的方程得到，將與相乘，化簡可得定值.

（1）∵點與的距離比它到直線的距離小1，

∴點與的距離與它到直線的距離相等，

∴點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，所以，

故拋物線的標準方程為.

（2）證明：設點的坐標為，

直線的方程為，直線的方程為.

據(jù)，得

所以，得.

同理，得，

所以，是方程的兩個實根，

所以，

分別令，得，，

所以

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解高新產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況，市場研究人員對該公司2019年下半年連續(xù)六個月的利潤進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)列表如下：

月份

7月

8月

9月

10月

11月

12月

月份代碼

1

2

3

4

5

6

月利潤（萬元）

110

130

160

150

200

210

（1）請用相關系數(shù)說明月利潤y（單位：萬元）與月份代碼x之間的關系的強弱（結果保留兩位小數(shù)），求y關于x的線性回歸方程，并預測該公司2020年1月份的利潤；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購一批新型材料，己知生產(chǎn)新型材料的乙企業(yè)對A、B兩種型號各100件新型材料進行模擬測試，統(tǒng)計兩種新型材料使用壽命頻數(shù)如下表所示：

使用壽命

材料類型

1個月

2個月

3個月

4個月

總計

A

15

40

35

10

100

B

10

30

40

20

100

現(xiàn)有采購成本分別為10萬元/件和12萬元/件的A、B兩種型號的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個月，不同類型的新型材料損壞的時間各不相同，經(jīng)甲公司測算，平均每件新型材料每月可以帶來5萬元收入，不考慮除采購成本之外的其他成本，假設每件新型材料的使用壽命都是整數(shù)月，且以頻率估計每件新型材料使用壽命的概率，如果你是甲公司的負責人，以每件新型材料產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款新型材料？

參考公式：相關系數(shù)；

回歸直線方程為，其中，.

參考數(shù)據(jù)：，，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計資料預測，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18(假設兩河流發(fā)生洪水與否互不影響)．現(xiàn)有一臺大型設備正在該地工作，為了保護設備，施工部門提出以下三種方案：

方案1：運走設備，此時需花費4000元；

方案2：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發(fā)生的洪水，當兩河流同時發(fā)生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；

方案3：不采取措施，此時，當兩河流都發(fā)生洪水時損失達60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時，損失為10000元．

(1)試求方案3中損失費X(隨機變量)的分布列；

(2)試比較哪一種方案好．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，有下列四個結論：

①為偶函數(shù)；②的值域為；

③在上單調(diào)遞減；④在上恰有8個零點，

其中所有正確結論的序號為（ ）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的定義域為，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，且當時，．給出下列三個結論：

①；

②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點；

③不等式的解集為．

其中，正確結論的序號是________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于函數(shù)有下述四個結論：

①函數(shù)的圖象把圓的面積兩等分；

②是周期為的函數(shù)；

③函數(shù)在區(qū)間上有個零點；

④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

則正確結論的序號為_______________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】李先生家住小區(qū)，他工作在科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有兩條路線（如圖），路線上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為.

（Ⅰ）若走路線，求最多遇到1次紅燈的概率；

（Ⅱ）若走路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】總體由編號為01，02，...，39，40的40個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表（如表）第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（ ）

A.23B.21C.35D.32

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知F1，F2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，過橢圓的上頂點的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點坐標為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，當△ABF2面積最大時，求直線l的方程.

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