Question

【題目】已知橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別為， ，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為， 的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線： 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)， ， 是線段的中點(diǎn).若經(jīng)過點(diǎn)的直線與直線垂直于點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由題意可知.，由，可求得橢圓方程。（2）分和討論，當(dāng)時，因為兩直線互相垂直，所以直線的方程為， 即點(diǎn)到直線的距離， 即點(diǎn)到直線的距離，用點(diǎn)到直線的距離公式計算，結(jié)合韋達(dá)定理，把長度表示為k的形式，所以表示為k的函數(shù)，即可求范圍。

試題解析：（1）由已知，有.

又，∴.

∵，∴.

∴橢圓的方程為.

（2）①當(dāng)時，點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)即為點(diǎn)，則， .

∴.

②當(dāng)時，直線的方程為.

則直線的方程為，即.

設(shè)， .

聯(lián)立方程，消去，得 .

此時.

∴， .∴.

∵即點(diǎn)到直線的距離，

∴ .

又即點(diǎn)到直線的距離，∴.

∴.

令，則.

∴ .

即時，有.

綜上，可知的取值范圍為.