Question

【題目】已知是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，數(shù)列滿足(n)，其中常數(shù)k為正整數(shù)．

（1）設(shè)數(shù)列前n項的積，當(dāng)k＝2時，求數(shù)列的通項公式；

（2）若是首項為1，公差d為整數(shù)的等差數(shù)列，且＝4，求數(shù)列的前2020項的和；

（3）若是等比數(shù)列，且對任意的n，，其中k≥2，試問：是等比數(shù)列嗎？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）數(shù)列是等比數(shù)列．證明見解析

【解析】

（1）先求出，即得數(shù)列的通項公式；

（2）通過分析得到d＝1，得到，再求出k＝1，即得，再利用裂項相消法求數(shù)列的前2020項的和；

（3）設(shè)公比為q2，則對任意n，，由已知得到，證明得到，即得數(shù)列是等比數(shù)列．

解：（1）因為，所以，

兩式相除，可得，

當(dāng)n＝1時，，符合上式，所以，

當(dāng)k＝2時，；

（2）因為，且，

所以，，

所以，

因為是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，是首項為1，公差d為整數(shù)的等差數(shù)列，

所以d，k均為正整數(shù)，所以，所以，

所以，解得d≤1，所以d＝1，即.

所以，即，解得k＝1，

所以，則，

記的前n項和為，

則，

所以；

（3）因為成等比數(shù)列，設(shè)公比為q2，則對任意n，，

因為，且，所以，所以，

因為，所以，

所以數(shù)列是等比數(shù)列．