Question

【題目】某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計厚度，單位：米），按計劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設(shè)其建造費用僅與表面積有關(guān)（圓柱底部不計），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米4千元，設(shè)該容器的建造費用為y千元．

（Ⅰ）求y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系，并求其定義域；
（Ⅱ）求建造費用最小時的r．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由容積為72π立方米，得 ．

，解得0＜r≤3

又圓柱的側(cè)面積為 ，

半球的表面積為2πr2，

所以建造費用 ，定義域為（0，3]．

（Ⅱ） ，…（8分）

又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造費用 ，

在定義域（0，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)r=3時建造費用最小

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意由圓柱的體積可求出r的取值范圍，再利用幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積加上半球的表面積進而得到建造費用的函數(shù)解析式。（Ⅱ）利用求導(dǎo)函數(shù)的增減性而得到該函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最值。