Question

甲、乙、丙三位同學(xué)彼此獨立地從A、B、C、D、E五所高校中，任選2所高校參加自主招生考試（并且只能選2所高校），但同學(xué)甲特別喜歡A高校，他除選A校外，在B、C、D、E中再隨機選1所；同學(xué)乙和丙對5所高校沒有偏愛，都在5所高校中隨機選2所即可．
（Ⅰ）求甲同學(xué)未選中E高校且乙、丙都選中E高校的概率；
（Ⅱ）記X為甲、乙、丙三名同學(xué)中未參加E校自主招生考試的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由已知條件分別求出甲同學(xué)選中E高校的概率和乙、兩同學(xué)選取中E高校的概率，由此能求出甲同學(xué)未選中E高校且乙、丙都選中E高校的概率．
（Ⅱ）由題意知：X所有可能的取值為0，1，2，3，分另求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：甲同學(xué)選中E高校的概率為p甲=

1

4

，
乙、兩同學(xué)選取中E高校的概率為p_乙=p_丙=

C 1 4

C 2 5

=

2

5

，
∴甲同學(xué)未選中E高校且乙、丙都選中E高校的概率為：
P（1-p_甲）•p_乙•p_丙=（1-

1

4

）•

2

5

•

2

5

=

3

25

．
（Ⅱ）由題意知：X所有可能的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=p_甲•p_乙•p_丙=

1

4

×(

2

5

)2=

1

25

，
P（X=1）=（1-p_甲）•p_乙•p_丙+p_甲•（1-p_乙）•p_丙+p_甲•p_乙•（1-p_丙）
=(1-

1

4

)•

2

5

•

2

5

+

1

4

•(1-

2

5

)•

2

5

+

1

4

•

2

5

•(1-

2

5

)=

6

25

，
P（X=2）=（1-p_甲）•（1-p_乙）•p_丙+（1-p_甲）•p_乙•（1-p_丙）+p_甲•（1-p_乙）•（1-p_丙）
=(1-

1

4

)•(1-

2

5

)•

2

5

+(1-

1

4

)•

2

5

•(1-

2

5

)+

1

4

•(1-

2

5

)•(1-

2

5

)=

9

20

，
P（X=3）=（1-p_甲）•（1-p_乙）•（1-p_丙）=(1-

1

4

)•(1-

2

5

)•(1-

2

5

)=

27

100

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 25	6 25	9 20	27 100

∴EX=0×

1

25

+1×

6

25

+2×

9

20

+3×

27

100

=

39

20

．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．