Question

自駕游從A地到B地有甲乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵車(chē)路段．假設(shè)這三條路段堵車(chē)與否相互獨(dú)立．這三條路段的堵車(chē)概率及平均堵車(chē)時(shí)間如表所示．

	CD段	EF段	GH段
堵車(chē)概率
平均堵車(chē)時(shí)間 (單位：小時(shí))		2	1

 

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，堵車(chē)概率在上變化，在上變化．

在不堵車(chē)的情況下，走甲線路需汽油費(fèi)500元，走乙線路需汽油費(fèi)545元．而每堵車(chē)1小時(shí)，需多花汽油費(fèi)20元．路政局為了估計(jì)段平均堵車(chē)時(shí)間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，得到下表數(shù)據(jù)．

堵車(chē)時(shí)間（單位：小時(shí)）	頻數(shù)
[0,1]	8
(1, 2]	6
(2, 3]	38
(3, 4]	24
(4, 5]	24

 

（1）求段平均堵車(chē)時(shí)間的值；

（2）若只考慮所花汽油費(fèi)的期望值大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率．

 

Answer 1

（1）3；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查利用頻率分布表求平均數(shù)，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量分布列，數(shù)學(xué)期望，幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)用統(tǒng)計(jì)、概率、數(shù)學(xué)期望等數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)，用總的堵車(chē)時(shí)間除以總?cè)藬?shù)100人，即得到平均堵車(chē)時(shí)間；第二問(wèn)，利用獨(dú)立事件求出每種情況的概率，選擇甲路線說(shuō)明甲需汽油費(fèi)少，利用線性規(guī)劃化畫(huà)出區(qū)域圖，再利用幾何概型求概率；法二，分別求EF路段和GH路段的期望再相加求乙路線多花汽油費(fèi)的期望.

試題解析：（1） 2分

3． 4分

（2）設(shè)走甲線路所花汽油費(fèi)為元，

則． 5分

法一：設(shè)走乙線路多花的汽油費(fèi)為元，∵段與段堵車(chē)與否相互獨(dú)立，

∴，

， 7分

． 8分

∴走乙線路所花的汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為． 9分

依題意，選擇走甲線路應(yīng)滿足 ， 10分

即，又，

（選擇走甲線路）． 13分

法二：在EF路段多花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望是元， 6分

在GH路段多花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望是元， 7分

因?yàn)镋F、GH路段堵車(chē)與否相互獨(dú)立，

所以走乙路線多花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望是元． 8分

以下解法同法一．

考點(diǎn)：利用頻率分布表求平均數(shù)，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量分布列，數(shù)學(xué)期望，幾何概型.