Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x，且x=3是f（x）的極值點．
（1）求實數(shù)a的值；  
（2）求f（x）在x∈[1，5]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=3x²-2ax+3． 由于x=3是f（x）的極值點，可得f′（3）=0，解出a并驗證即可得出．
（2）f（x）=x³-5x²+3x．令f′（x）=3x²-10x+3=0，解得 x=3，或 x=

1

3

（舍去）．列出表格即可得出極值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+3． 
∵x=3是f（x）的極值點，∴f′（3）=27-6a+3=0，
解得a=5，
經(jīng)過驗證：a=5滿足x=3是f（x）的極值點．
∴a=5．
（2）f（x）=x³-5x²+3x．
令f′（x）=3x²-10x+3=0，解得 x=3，或 x=

1

3

（舍去）
當(dāng)x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f′（x）	0	+	0	-	0
f（x）	-1	↗	-9	↘	15

因此，當(dāng)x=3時，f（x）在區(qū)間[1，5]上有最小值為f（3）=-9；
當(dāng)x=5時，f（x）在區(qū)間[1，5]上有最大值是f（5）=15．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．