Question

已知f（x）=sin²x+acosx+2的最大值為g（a）．
（1）求g（a）的表達式；
（2）解不等式g（2sinx+4）≤5；
（3）若函數F（x）=g（x）-kx-3在[0，+∞]上有兩個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：綜合題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡f（x），討論a的取值，求出f（x）的最大值，即得g（a）；
（2）求出2sinx+4的取值范圍，化簡不等式g（2sinx+4）≤5，求出不等式的解集；
（3）畫出函數g（x）和h（x）的圖象，兩函數圖象在[0，+∞]上有兩個交點時，即函數F（x）=g（x）-kx-3有兩個零點．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+acosx+2
=1-cos²x+acosx+2
=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+3，
當-1≤

a

2

≤1，即2≤a≤2時，f（x）的最大值是

a2

4

+3；
當

a

2

＞1，即a＞2時，f（x）的最大值是-(1-

a

2

)2+

a2

4

+3=a+2；
當

a

2

＜-1，即a＜-2時，f（x）的最大值是-(-1-

a

2

)2+

a2

4

+3=-a+2；
∴g（a）=

-a+2，a＜-2 a2 4 +3，-2≤a≤2 a+2，a＞2

；
（2）∵-1≤sinx≤1，
∴-2≤2sinx≤2，
∴2≤2sinx+4≤6，
∴g（2sinx+4）=2sinx+4+2；
∴2sinx+4+2≤5，
∴sinx≤-

1

2

；
解得

7π

6

+2kπ≤x≤

11π

6

+2kπ，k∈Z，
即不等式的解集為[

7π

6

+2kπ，

11π

6

+2kπ]，k∈Z；
（3）根據題意，畫出圖象，如圖所示；
結合函數g（x）=

-a+2，a＜-2 a2 4 +3，-2≤a≤2 a+2

和h（x）=kx+3的圖象，
得k=

4-3

2-0

=

1

2

，
∴當

1

2

≤k＜1時，兩函數圖象在在[0，+∞]上有兩個交點，
即函數F（x）=g（x）-kx-3在[0，+∞]上有兩個零點．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了函數零點的問題，考查了函數的性質與應用問題，是綜合性題目．