Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）當x＞y＞e-1時，求證：e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，確定f（x）在其定義域（0，+∞）單調(diào)性；
（2）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，構造函數(shù)g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，g（x）_min即為所求的b的值；
（3）e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

，即證

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，令g（x）=

ex

ln(x+1)

，則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答： （1）解：f′(x)=2-

1

x

=

2x-1

x

，
f′（x）＜0得0＜x＜

1

2

，f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴f（x）在(0，

1

2

)上遞減，在(

1

2

，+∞)上遞增．
（2）解：∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴a=1，
∴f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，
令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，則g′（x）=-

1

x2

（2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e²，由g′（x）≤0得，0＜x≤e²，
∴g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，
∴g（x）_min=g（e²）=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．
（3）證明：e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

，即證

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
令g（x）=

ex

ln(x+1)

，
則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵g′（x）=

ex[ln(x+1)- 1 x+1 ]

ln2(x+1)

，
顯然函數(shù)h（x）=ln（x+1）-

1

x+1

在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）＞1-

1

e

＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，即

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
∴當x＞y＞e-1時，有e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查不等式的證明，著重考查分類討論思想與構造函數(shù)思想的應用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力，屬于屬于中檔題．