Question

【題目】假設(shè)平面點(diǎn)集具有性質(zhì)：（1）任意三點(diǎn)不共線(xiàn)；（2）任意兩點(diǎn)距離各不相等.對(duì)于中兩點(diǎn)、，若存在點(diǎn)使得，則稱(chēng)是的一條“中邊”；對(duì)于中三點(diǎn)、、，若、、都是的中邊，則稱(chēng)是的“中邊三角形”.求最小的，使得任意具有性質(zhì)（1）和（2）的元平面點(diǎn)集中必存在中邊三角形.

Answer 1

【答案】6

【解析】

將的所有中邊染成紅色，其他邊染成藍(lán)色.

當(dāng)時(shí)，根據(jù)拉姆賽定理知，

一定存在同色三角形，該三角形一定有中邊，一定是中邊三角形.

以下具有性質(zhì)（1）、（2）的五元點(diǎn)集不存在中邊三角形：

假設(shè)五個(gè)點(diǎn)、、、、在圓周上依逆時(shí)針的次序排列，

且

則點(diǎn)、、、、兩兩的距離互不相同，且、、、、為中邊，但是不存在中邊三角形.

對(duì)于少于五個(gè)點(diǎn)的情況，只要在前面的例子中刪去若干個(gè)點(diǎn)，仍然不存在中邊三角形.

所以最小的，使得任意具有性質(zhì)（1）和（2）的元平面點(diǎn)集中必存在中邊三角形.