【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓,點(diǎn),過的直線與圓交于點(diǎn),過做直線平行于點(diǎn)

1)求點(diǎn)的軌跡的方程;

2)過的直線與交于、兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)為,且,求四邊形面積的最大值.

【答案】1.2

【解析】

1)由題意可得,可得,則的軌跡是焦點(diǎn)為,長軸為的橢圓的一部分,再用待定系數(shù)法即可求出方程;

2)由題意設(shè)直線方程為,設(shè),,聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理表示出,可得,設(shè)四邊形的面積為,則,再根據(jù)基本不等式即可求出答案.

解:(1)因?yàn)?/span>,又因?yàn)?/span>,所以

所以,

所以的軌跡是焦點(diǎn)為,長軸為的橢圓的一部分,

設(shè)橢圓方程為,

,,所以,,

所以橢圓方程為,

又因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上,所以,

所以點(diǎn)的軌跡的方程為

2)因?yàn)橹本斜率不為0,設(shè)為

設(shè),,聯(lián)立整理得,

所以,,,

所以,

,∴,

設(shè)四邊形的面積為,

,

再令,則單調(diào)遞增,

所以時(shí),

此時(shí),取得最小值,所以

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