【題目】已知橢圓的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標原點，是等腰直角三角形，且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意求出，，的值，即可求出橢圓方程；

（2）由（1）可得直線的斜率，則可設直線的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數(shù)的范圍，設，，利用韋達定理及點到線的距離公式表示出及點到直線的距離，則利用導數(shù)求出面積的最值；

解：（1）在中，，，則，

因為是等腰直角三角形，且周長為，

所以，，，

得，，

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，則直線的斜率，

因為直線與垂直，所以可設直線的方程為，

代入，得，

則，解得，

所以.

設，，則，，.

又點到直線的距離，

所以，.

令，

則，

令，則或，

令，則或.

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

因為，，，

所以當時，取得最大值，，

所以，

因此面積的最大值是.

練習冊系列答案
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【題目】已知圓經過兩點，且圓心在直線上.

（Ⅰ）求圓的標準方程；

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（2）已知點，長為的線段PQ的兩端點在軌跡C上滑動．當軸是的角平分線時，求直線PQ的方程．

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（1）記、是橢圓的左右焦點，若直線過，當到的距離與到直線的距離相等時，求點的橫坐標；

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（2）求△OAB的面積的最小值，并求此時的值．

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【題目】橢圓經過點,且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點.在軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

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（2）過的直線與交于、兩點，若線段的中點為，且，求四邊形面積的最大值．

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