Question

已知a∈R，b＞0，則（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令

x=a y=a+2

，

x=b y=3lnb-b2

，分別化為y=x+2，y=3lnx-x²．因此求出（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值等價(jià)于求出直線y=x+2與曲線y=3lnx-x²之間的距離的平方的最小值．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：令

x=a y=a+2

，

x=b y=3lnb-b2

，
分別化為y=x+2，y=3lnx-x²．
因此求出（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值等價(jià)于求出直線y=x+2與曲線y=3lnx-x²之間的距離的平方的最小值．
設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=3lnx-x²相切于點(diǎn)P（x₀，y₀）．
則y′=

3

x

-2x|x=x0=1，解得x₀=1，
∴切點(diǎn)P（1，-1）．
點(diǎn)P到直線y=x+2的距離d=

|1+1+2|

2

=2

2

，
∴（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值為(2

2

)2=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了問題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．