Question

將圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（-1，1）平移得到⊙O₁，直線l與⊙O₁相交于A、B兩點，若在⊙O₁上存在點C，使

OC

+

OA

+

OB

=0，且

OC

=λ

a

，求直線l的方程及△OAB的面積．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：由已知條件可求出⊙O₁的方程：x²+y²=2，由

OC

+

OA

+

OB

=0可求得

OC

•

AB

=-(

OA

+

OB

)•(

OB

-

OA

)=0，所以得出OC⊥AB，而由

OC

=λ(-1，1)可知直線OC的斜率為-1，所以直線l的斜率為1，所以可設出直線l的方程：y=x+m，AB中點為D，則根據(jù)

OC

=-(

OA

+

OB

)=-2

OD

便可得到O到直線l的距離為

2

2

，根據(jù)點到直線的距離公式即可求出m=±1，這樣便可求出直線l的方程．這時容易求出|AB|=2

2- 1 2

=

6

，所以可求得△OAB的面積．

解答： 解：已知圓的方程式為（x+1）²+（y-1）²=2，按向量

a

=(-1，1)平移得：
⊙O₁：x²+y²=2；

OC

=-(

OA

+

OB

)；
∴

OC

•

AB

=-(

OA

+

OB

)•(

OB

-

OA

)=

OA

2-

OB

2=0；
∴

OC

⊥

AB

；

OC

=λ

a

=λ(-1，1)，∴k_OC=-1，∴k_AB=1；
設l：y=x+m，AB中點為D；
由

OC

=-(

OA

+

OB

)=-2

OD

得，|

OC

|=2|

OD

|，|

OD

|=

1

2

|

OC

|=

2

2

；
∴O到AB的距離等于

2

2

；
即

|m|

2

=

2

2

，∴m=±1；
∴直線l的方程為y=x+1，或y=x-1；
O到AB的距離為

2

2

，∴|AB|=2

2-( 2 2 )2

=

6

；
∴S_△OAB=

1

2

×

6

×

2

2

=

3

2

．

點評：考查數(shù)量積的運算，向量垂直的充要條件，以及直線的點斜式方程，根據(jù)向量坐標求向量所在直線的斜率，以及點到直線的距離公式．