Question

已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x³-3x²-ax+b．
（1）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=2，求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=x³-3x²-ax+b，得f′（x）=3x²-6x-a，又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=2，得方程組求出即可，
（2）由f（x）在R上單調(diào)遞增得f′（x）=3x²-6x-a≥0在R上恒成立，從而△=36+12a≤0，解出即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x²-ax+b，
∴f′（x）=3x²-6x-a，
又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=2，
∴

1-3-a+b=2 3-6-a=0

，解得：

a=-3 b=1

，
（2）∵f（x）在R上單調(diào)遞增
∴f′（x）=3x²-6x-a≥0在R上恒成立，
∴△=36+12a≤0，
解得：a≤-3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．