【題目】已知數(shù)列{an},{bn}都是單調(diào)遞增數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列(相同的項(xiàng)視為一項(xiàng)),則得到一個新數(shù)列{cn}.
(1)設(shè)數(shù)列{an},{bn}分別為等差、等比數(shù)列,若a1=b1=1,a2=b3 , a6=b5 , 求c20;
(2)設(shè){an}的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)為正整數(shù),bn=3n , 若新數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,求數(shù)列{cn} 的前n項(xiàng)和Sn
(3)設(shè)bn=qn1(q是不小于2的正整數(shù)),c1=b1 , 是否存在等差數(shù)列{an},使得對任意的n∈N* , 在bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)總是bn?若存在,請給出一個滿足題意的等差數(shù)列{an};若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,

由題意得, ,解得d=0或3,因數(shù)列{an},{bn}單調(diào)遞增,

所以d>0,q>1,

所以d=3,q=2,

所以an=3n﹣2,bn=2n1

因?yàn)閍1=b1=1,a2=b3,a6=b5,b7>a20

∴c20=a17=49.


(2)解:設(shè)等差數(shù)列{cn}的公差為d,又a1,且bn=3n,

所以c1=1,所以cn=dn+1﹣d.

因?yàn)閎1=3是{cn}中的項(xiàng),所以設(shè)b1=cn,即d(n﹣1)=2.

當(dāng)n≥4時,解得d= <1,不滿足各項(xiàng)為正整數(shù);

當(dāng)b1=c3=3時,d=1,此時cn=n,只需取an=n,而等比數(shù)列{bn}的項(xiàng)都是等差數(shù)列{an},中的項(xiàng),所以Sn= ;

當(dāng)b1=c2=3時,d=2,此時cn=2n﹣1,只需取an=2n﹣1,

由3n=2m﹣1,得m= ,3n是奇數(shù),3n+1 是正偶數(shù),m有正整數(shù)解,

所以等比數(shù)列{bn}的項(xiàng)都是等差數(shù)列{an}中的項(xiàng),所以Sn=n2

綜上所述,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn= ,或Sn=n2


(3)解:存在等差數(shù)列{an},只需首項(xiàng)a1∈(1,q),公差d=q﹣1…

下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為bn.即證對任意正整數(shù)n,都有

成立.

由bn =qn1﹣a1﹣(1+q+…+qn2)(q﹣1)=1﹣a1<0,

bn+1 =qn﹣a1﹣(1+q+…+qn1﹣1)(q﹣1)=q﹣a1>0..

所以首項(xiàng)a1∈(1,q),公差d=q﹣1的等差數(shù)列{an}符合題意


【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意得, ,解得d=0或3,因數(shù)列{an},{bn}單調(diào)遞增,d>0,q>1,可得an=3n﹣2,bn=2n1 , 利用通項(xiàng)公式即可得出.(2)設(shè)等差數(shù)列{cn}的公差為d,又a1 , 且bn=3n , 所以c1=1,所以cn=dn+1﹣d.因?yàn)閎1=3是{cn}中的項(xiàng),所以設(shè)b1=cn , 即d(n﹣1)=2.當(dāng)n≥4時,解得d= <1,不滿足各項(xiàng)為正整數(shù)當(dāng)b1=c3=3時,當(dāng)b1=c2=3時,即可得出.(3)存在等差數(shù)列{an},只需首項(xiàng)a1∈(1,q),公差d=q﹣1.下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為bn . 即證對任意正整數(shù)n,都有 ,作差利用通項(xiàng)公式即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識,掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.

練習(xí)冊系列答案
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(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過

不超過

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附:,

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收看時間

(單位:小時)

14

28

20

12

(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為球迷,否則定義為非球迷,請根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全列聯(lián)表:

合計(jì)

球迷

40

非球迷

合計(jì)

并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為球迷性別有關(guān);

(2)在全校球迷中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6球迷中選取2名世界杯知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

.

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【題目】已知二次函數(shù),則下列說法不正確的是( )

A.其圖象開口向上,且始終與軸有兩個不同的交點(diǎn)

B.無論取何實(shí)數(shù),其圖象始終過定點(diǎn)

C.其圖象對稱軸的位置沒有確定,但其形狀不會因的取值不同而改變

D.函數(shù)的最小值大于

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(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?

(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義.

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(1)求證:BE∥平面PAD;
(2)求證:BC⊥平面PBD;
(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q﹣BD﹣P為45°?若存在,求 的值;若不存在,請述明理由.

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