Question

【題目】已知兩個不相等的非零向量 ， ，兩組向量 ， ， ， ， 和 ， ， ， ， 均由2個 和3個 排列而成，記S= + + + + ，Smin表示S所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）．
①S有5個不同的值；
②若 ⊥ ，則Smin與| |無關；
③若 ∥ ，則Smin與| |無關；
④若| |＞4| |，則Smin＞0；
⑤若| |=2| |，Smin=8| |2 ， 則 與 的夾角為 ．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：∵xi ， yi（i=1，2，3，4，5）均由2個 和3個 排列而成，
∴S=xiyi可能情況有三種：①S=2 +3 ；②S= +2 +2 ；③S=4 + ．
S有3種結果：S1= + + + + ，
S2= + + + + ，
S3= + + + + ，故①錯誤；
∵S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ≥ + ﹣2| || |= ≥0，
∴S中最小為S3；
若 ⊥ ，則Smin=S3= ，與| |無關，故②正確；
③若 ∥ ，則Smin=S3=4 + ，與| |有關，故③錯誤；
④若| |＞4| |，則Smin=S3=4| || |cosθ+ ＞﹣4| || |+ ＞﹣ + =0，故④正確；
⑤若| |=2| |，Smin=S3=8| |2cosθ+4 =8 ，
∴2cosθ=1，∴θ= ，
即 與 的夾角為 ．
綜上所述，命題正確的是②④，
所以答案是：②④．
【考點精析】認真審題，首先需要了解命題的真假判斷與應用(兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系)．