Question

已知直線與橢圓交于P，Q兩點．
（1）設(shè)PQ中點M（x，y），求證：
（2）橢圓C的右頂點為A，且A在以PQ為直徑的圓上，求△OPQ的面積（O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出交點坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與橢圓的方程并且整理可得：（4a²+1）x²-4a²x+2a²=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出中點的橫坐標(biāo)，進而得到答案．
（2）由題意可得：•=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，因為點在直線上，所以可得5，再由（1）可得關(guān)于a的方程，進而結(jié)合題意求出a的值．聯(lián)立，得，由弦長公式得=，由點到直線距離公式，得坐標(biāo)原點O到直線y=2x-的距離d=，由此能求出△OPQ的面積．
解答：（1）證明：設(shè)直線與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，由題意可得：右頂點A（a，0），
將y=2x-代入x²+a²y²-a²=0中整理得（4a²+1）x²-4a²x+2a²=0，
所以根據(jù)根與系數(shù)，
∵M（x，y）為PQ中點，
∴x===-，
所以x＜
（2）解：因為以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，
所以•=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，
 又因為y₁=2x₁-，y₂=2x₂-
所以（x₁-a）（x₂-a）+（2x₁-）（2x₂-）=0，
整理可得：5，…③
 將①②代入③得：4a⁴-4a³-a²+3=0
∴（a-）（4a²-a-）=0，
∵a＞1，則4a²-a-＞0，
所以a=，所以橢圓方程為+y²=1．
聯(lián)立，
消去y，并整理得，
∴，，k=2，
∴=，
坐標(biāo)原點O到直線y=2x-的距離d=，
∴△OPQ的面積S==．
點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，并且考查學(xué)生運算能力與分析問題解決問題的能力．