Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)，α∈[0，π]），直線l的極坐標(biāo)方程為 ．
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）P為曲線C上任意一點(diǎn)，Q為直線l任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)，α∈[0，π]），

∴曲線C的普通方程為（x﹣1）2+y2=1．（y≥0）．

∵直線l的極坐標(biāo)方程為 ，

即ρsinθ﹣ρcosθ=4，

∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x﹣y+4=0．

（2）解：∵P為曲線C上任意一點(diǎn)，Q為直線l任意一點(diǎn)，

∴設(shè)P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]，

則P到直線l的距離：

d= = ，

∵α∈[0，π]，∴當(dāng)α= 時(shí)，dmin= = ．

∴|PQ|的最小值為 ．

【解析】（1）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)α，能求出曲線C的普通方程；直線l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρsinθ﹣ρcosθ=4，由此能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．（2）設(shè)P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]），求出P到直線l的距離，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)能求出|PQ|的最小值．