(08年溫州八校適應(yīng)性考試三理)  (16分)    已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù),設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

   (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極值;

   (Ⅱ)若在區(qū)間上的最大值為-3,求的值;

   (III)當(dāng)時(shí),試推斷方程 是否有實(shí)數(shù)解.

解析:(Ⅰ)   …………(2分)

,則

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)

故有極大值…………(4分)

(Ⅱ)∵=a+,x∈(0,e),∈[,+∞

   (1)若a≥-,則≥0,從而f(x)在(0,e)上增函數(shù).

    ∴f(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合題意. …………………………………7分

   (2)若a<-, >0a+>0,即0<x<-

    由a+<0,即-<xe.

    ∴f(x)=f(-)=-1+ln(-).

    令-1+ln(-)=-3,則ln(-)=-2.∴-=e,

    即a=-e2. ∵-e2<-,∴a=-e2為所求. ……………………………10分

  (Ⅲ)

    由Ⅰ)結(jié)論,=f(1)=-1.∴f(x)=-x+lnx≤-1,從而lnxx-1.

    令g(x)=|f(x)|-=x-lnx=x-(1+)lnx-……12分

   (1)當(dāng)0<x<2時(shí),有g(shù)(x)≥x-(1+)(x-1)-=>0.

   (2)當(dāng)x≥2時(shí),g′(x)=1-[(-)lnx+(1+)?]=

                   =.

    ∴g(x)在[2,+∞上增函數(shù),∴g(x)≥g(2)=

    綜合(1)、(2)知,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,即|f(x)|>.

    故原方程沒有實(shí)解.                       ………………………………16分

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