Question

函數(shù)f（x）定義域為I，存在非零常數(shù)T，對于任意的x∈I，都有f（x+T）=-f（x），則f（x）是周期函數(shù)嗎？若都有f（x+T）=

1

f(x)

，則f（x）是周期函數(shù)嗎？若都有f（x+T）=-

1

f(x)

，則f（x）是周期函數(shù)嗎？請給出詳細的證明．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，若f（x+T）=f（x）則f（x）為周期函數(shù)，其中T為非零常數(shù)．

解答： （1）∵f（x+T）=-f（x），
∴f（x+2T）=-f（x+T）=-[-f（x）]=f（x）
即存在非零常數(shù)2T，對于任意的x∈I；都有
f（x+2T）=f（x），
∴f（x）是以2T為周期的周期函數(shù)．
（2）∵f（x+T）=

1

f(x)

，
∴f（x+2T）=f（x+T+T）=

1

f(x+T)

=

1

1 f(x)

=f（x），
即存在非零常數(shù)2T，對于任意的x∈I，都有f（x+2T）=f（x），
∴f（x）是以2T為周期的周期函數(shù)．
（3）∵f（x+T）=-

1

f(x)

，
∴f（x+2T）=-

1

f(x+T)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
即存在非零常數(shù)2T，對于任意的x∈I；都有
f（x+2T）=f（x），
∴f（x）是以2T為周期的周期函數(shù)．

點評：本題主要考查了周期函數(shù)的定義以及轉(zhuǎn)化思想．