已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]，求
（Ⅰ）
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最大值和最小值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,向量的模
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求得
a
•
b
=cos2x，根據(jù)
a
+
b
 的坐標(biāo)求得|
a
+
b
|
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
，化簡可得結(jié)果．
（Ⅱ）由以上可得函數(shù)f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=-cos2x，再結(jié)合x∈[0，
π
2
]，可得它的最大值、最小值．
解答： 解：（Ⅰ）由題意可得
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos（
3x
2
+
x
2
 ）=cos2x，
∵
a
+
b
=（cos
3x
2
+cos
x
2
，sin
3x
2
-sin
x
2
），
∴|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
=
2+2cos2x
=2|cosx|=2cosx．
（Ⅱ）由以上可得函數(shù)f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2（cosx-
1
2
）2-
5
2
，
再結(jié)合x∈[0，
π
2
]，可得cosx∈[0，1]，它的最大值為0，最小值為-
5
2
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，求向量的模，三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知隨機變量X的分布列如下表
X12345
P 
1
10
 
3
10
a 
1
10
 
1
10
（1）求a；
（2）求P（X≥4）和P（2≤X＜5）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）2+lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-
1
4
，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，+∞），f（x）≤x-1恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求點P（1，2）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點Q的坐標(biāo)；
（2）求直線x+3y-1=0關(guān)于x-y+1=0的對稱直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2-3x，且在x=1時函數(shù)f（x）取得極值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的極值；
（Ⅱ）若g（x）=x2-2x-1（x＞0），證明：當(dāng)x＞1時，g（x）的圖象恒在f（x）的上方．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）最小值和最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x+log2
1-x
1+x
．
（Ⅰ）求f（
1
2012
）+f（-
1
2012
）的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°，則cosB=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點，面PAD⊥面ABCD，四邊形BCDE為矩形∠PAD=60°，PB=2
3
，PA=ED=2AE=2．
（1）已知
PF
=λ
PC
（λ∈R），且PA∥面BEF，求λ的值；
（2）求證：CB⊥面PEB，并求點D到面PBC的距離．

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同步練習(xí)冊答案