Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-

1

4

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，+∞），f（x）≤x-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=-

1

4

時(shí)，f′(x)=-

1

2

x+

1

2

+

1

x

=

-(x-2)(x+1)

2x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=-

1

4

時(shí)，f（x）=-

1

4

（x-1）²+lnx，x＞0，
f′(x)=-

1

2

x+

1

2

+

1

x

=

-x2+x+2

2x

=

-(x-2)(x+1)

2x

，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），單調(diào)減區(qū)間是（2，+∞）．
（Ⅱ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），
則使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，
求導(dǎo)，得g′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，若x＞1，則g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；
②當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，x=

1

2a

≤1，g（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；
③當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，x=

1

2a

＞1，則f（x）在[1，

1

2a

]上單調(diào)遞減，
在[

1

2a

，+∞）單調(diào)遞增，
則存在

1

a

∈[

1

2a

，+∞），有：
g（

1

a

）=a（

1

a

-1）²+ln

1

a

-

1

a

+1=-lna+a-1＞0，
∴不成立，綜上得a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．