Question

如圖，四棱錐S-ABCD的正視圖是邊長為2的正方形，側視圖和俯視圖是全等的等腰三角形，直線邊長為2．
（1）求二面角C-SB-A的大�。�
（2）P為棱SB上的點，當SP的長為何值時，CP⊥SA？

Answer 1

分析：（1）分別以DS、DC、DA所在直線為x、y、z軸建立直角坐標系，得出平面SBC的一個法向量

m

=(1，1，0)，且平面SAB的一個法向量

n

=(1，0，1)，利用空間向量的夾角公式，算出

m

、

n

夾角的余弦值，結合二面角C-SB-A是鈍二面角，可得二面角C-SB-A大��；
（2）算出向量

SB

=（-2，2，2），設

SP

=k

SB

=(-2k，2k，2k)，根據CP⊥SA得

CP

•

SA

=0，建立關于k的方程解出k=

1

2

，從而算出

SP

=(-1，1，1)，得|

SP

|=

3

，即可得到CP⊥SA時SP的長．

解答：解（1）以D為坐標原點，分別以DS、DC、DA所在直線為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標系．根據題意可得
平面SBC的一個法向量

m

=(1，1，0)（1分）
∵平面SAB的一個法向量

n

=(1，0，1)（2分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2

，得＜

m

，

n

＞=

π

3

（3分）
由圖形觀察，可得二面角C-SB-A是鈍二面角，
因此二面角C-SB-A大小為

2π

3

（4分）
（2）由（1），可得S（2，0，0），
B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2）
設

SP

=k

SB

=(-2k，2k，2k)，k∈R（5分）
∴

CP

•

SA

=8k-4（6分）
∵CP⊥SA，∴

CP

•

SA

=0，可得k=

1

2

（7分）
因此，

SP

=(-1，1，1)，得|

SP

|=

3

，
即當SP的長為

3

時，CP⊥SA．（8分）

點評：本題在特殊四棱錐中求二面角的大小，并探索異面直線垂直的問題．著重考查了利用空間坐標系研究線線角、線面角和二面角大小等知識，考查了空間向量的數(shù)量積與向量的夾角公式，屬于中檔題．