Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線的切線；

（2）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間（0，1）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，可得，解方程可得所求值；（2）求的解析式和導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得到所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）的導(dǎo)數(shù)為，

設(shè)切點(diǎn)為，可得，

即，

解得；

（2），

當(dāng)時(shí)，，在（0，1）遞增，可得

，，有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，在（0，1）遞減，，

在（0，1）無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在（0，）遞增，在（，1）遞減，

可得在（0，1）的最大值為，

①若＜0，即，在（0，1）無(wú)零點(diǎn)；

②若=0，即，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；

③若＞0，即，

當(dāng)時(shí)，在（0，1）有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上可得，a＜時(shí)，在（0，1）無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)a=或a≥時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)＜a＜時(shí)，在（0，1）有兩個(gè)零點(diǎn)．