Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+2，g（x）=ax+2．
（1）設(shè)h（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，當(dāng)a＞0時，求h（x）的最小值；
（2）若存在x₀∈[a，a+1]使得f（x₀）≤a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a＞0時，求出h（x）的表達(dá)式，求出各段的值域，比較即可得到最小值；
（2）若存在x₀∈[a，a+1]使得f（x₀）≤a成立，則轉(zhuǎn)化為a≥f（x₀）在[a，a+1]的最小值．討論區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，分①當(dāng)a=0時②當(dāng)

a

2

≥a+1即a≤-2時③當(dāng)a＜

a

2

＜a+1，即-2＜a＜0時④當(dāng)a＞

a

2

即a＞0時，分別解出a的范圍，最后求并集即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a＞0時，f（x）≥g（x）得x≥2a或x≤0，
此時h（x）=x²-ax+2，當(dāng)x≥2a時，h（x）≥2a²+2；
當(dāng)x≤0時，h（x）≥2；
f（x）＜g（x）得0＜x＜2a，此時h（x）=ax+2，有2＜h（x）＜2+2a²．
故當(dāng)a＞0時，h（x）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取最小值2；
（2）若存在x₀∈[a，a+1]使得f（x₀）≤a成立，則轉(zhuǎn)化為a≥f（x₀）在[a，a+1]的最小值．
由于f（x）=x²-ax+2的對稱軸x=

a

2

，
①當(dāng)a=0時，區(qū)間[0，1]為增，則f（0）最小且為2，0≥2不成立；
②當(dāng)

a

2

≥a+1即a≤-2時，區(qū)間[a，a+1]為減，f（a+1）最小，則a≥（a+1）²-a（a+1）+2，
化簡得0≥-1，故a≤-2；
③當(dāng)a＜

a

2

＜a+1，即-2＜a＜0時，則f（

a

2

）最小，則a≥

8-a2

4

，即（a+2）²≥12，顯然不成立；
④當(dāng)a＞

a

2

即a＞0時，則f（a）最小，則a²-a²+2≤a，即有a≥2．
綜上，a的取值范圍為：[2，+∞）∪（-∞，-2]．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查含參二次函數(shù)的最小值，注意區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．