Question

【題目】已知函數(shù)有兩個極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）的兩個極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)，根據(jù)題中條件可得在內(nèi)有兩個變號零點，再對求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，分別討論，即可求出結(jié)果；

（2）先由題意可得到的極值點，就是的零點，即，根據(jù)(1)中單調(diào)性，以及，可得，，再設(shè)，，對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題中條件，即可證明結(jié)論成立.

（1）的定義域為，.

設(shè)，則由題意得，在內(nèi)有兩個變號零點.

，令，解得；令，解得.

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此.

當(dāng)時，，這時在上沒有變號零點；

當(dāng)時，，，又因為，，，

所以在和內(nèi)分別有一個變號零點.

綜上，的取值范圍為.

（2）的極值點，就是的零點，即.

因為在單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，且，

所以，.

設(shè)，，

則 .

因為時，，

所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.

又因為，所以當(dāng)時，，即，

因為，所以，又因為，所以.

由于，而在上單調(diào)遞減.

所以，從而，因此.