Question

已知Ox，Oy為平面上兩條相交且不垂直的數(shù)軸，設(shè)∠x(chóng)Oy=θ，平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)這樣定義：若

OP

=x

e1

+y

e2

（其中

e1

，

e2

分別是與x軸，y軸的正方向同向的單位向量），則

OP

的坐標(biāo)為（x，y），則在平面斜坐標(biāo)系下給出給出下列幾個(gè)運(yùn)算結(jié)論：
①若θ=

π

3

，P（1，1），則有|

OP

|=

2

；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)；
③若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有

OP

•

OQ

=(x1x2，y1y2)；
④設(shè)∠x(chóng)Oy=

π

3

，點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，∠x(chóng)OP=

5π

6

且|OP|=3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-2

3

，

3

)．
其中正確的運(yùn)算結(jié)論是

 

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：新定義

分析：首先得到②顯然正確，運(yùn)用向量的數(shù)量積先求出

e1

•

e2

，再求|

OP

|，

OP

•

OQ

；對(duì)④運(yùn)用平行四邊形法則將

OP

分解成OX，OY軸方向，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：①∵θ=

π

3

，P（1，1），

e1

•

e2

=1×1×cos

π

3

=

1

2

，
∴|

OP

|=

( e1 + e2) 2

=

1+1+2× 1 2

=

3

，故①錯(cuò)；
②顯然正確；
③∵

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)•(

e1

•

e2

)，
故③錯(cuò)；
④將向量OP沿Ox軸，Oy軸分解成OB，OA，因?yàn)?span id="m9qbtjg" class="MathJye">∠x(chóng)Oy=

π

3

，點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，∠x(chóng)OP=

5π

6

且|OP|=3，所以O(shè)A=3×tan30°=

3

，OB=

3

cos30°

=2

3

，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2

3

，

3

)，
故④對(duì)．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查斜坐標(biāo)系下的兩向量的加法、數(shù)量積和模的運(yùn)算，注意區(qū)別直角坐標(biāo)系下的運(yùn)算，同時(shí)考查將一個(gè)向量分解的方法以求點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題．