Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

的值域為[-1，4]，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先令y=

ax+b

x2+1

，將該函數(shù)整理成關(guān)于x的方程，該方程有實數(shù)根，所以對應(yīng)判別式△≥0，這樣便可求出y的范圍，即原函數(shù)的值域，又告訴值域是[-1，4]，所以讓它對應(yīng)端點相等求出a，b即可．

解答： 解：令y=

ax+b

x2+1

，并將該函數(shù)變成：yx²-ax+y-b=0，則該關(guān)于x的方程有實數(shù)根；
∴△=a2-4y(y-b)=-4(y-

b

2

)2-a2-b2≥0，即(y-

b

2

)2≤

a2+b2

4

；
∴

b- a2+b2

2

≤y≤

b+ a2+b2

2

；
又函數(shù)f（x）的值域為[-1，4]；
∴

b- a2+b2 2 =-1 b+ a2+b2 2 =4

，解得a=±4，b=3；
∴實數(shù)a，b的值分別為：±4，3．

點評：考查一元二次方程實數(shù)根與判別式△的關(guān)系，掌握這種，將原函數(shù)整理成關(guān)于x的方程，由方程有實數(shù)根求值域的方法．