【題目】如圖，已知平行四邊形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成.若為線段的中點(diǎn).

（1）證明平面，并求的長(zhǎng)；

（2）在翻折過(guò)程中，當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求平面與平面所成的二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接,證明四邊形為平行四邊形即可.

(2)易得當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí),面面,再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,再分別求出面與面的法向量,進(jìn)而求得平面與平面所成的二面角的余弦值即可.

(1) 取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn),故為的中位線,故.又平行四邊形中,為邊的中點(diǎn),故,故.故四邊形為平行四邊形,故.又平面,平面,故平面.

(2)因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn),故,故當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)三棱錐的體積取最大.故此時(shí)面面.

因?yàn)?/span>,.故邊長(zhǎng)是2的正三角形., 故,解得.故,故.故以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

則平面的一個(gè)法向量為.

,,.故,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則因?yàn)?/span>,即,

取有,.故.
設(shè)平面與平面所成的二面角為,則.

故平面與平面所成的二面角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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每周喝酒量（兩）

人數(shù)

100

300

450

100

規(guī)定：①每周喝酒量達(dá)到4兩的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；

②每周喝酒量達(dá)到8兩的叫有酒癮的人.

（1）求值，從每周喝酒量達(dá)到6兩的人中按照分層抽樣選出6人，再?gòu)倪@6人中選出2人，求這2人中無(wú)有酒癮的人的概率；

（2）請(qǐng)通過(guò)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫完下面的列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為是否得病與是否常喝酒有關(guān)？并對(duì)民間流傳的說(shuō)法做出你的判斷.

常喝酒

不常喝酒

合計(jì)

得病

不得病

250

650

合計(jì)

參考公式：，其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差，公差為，偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.

若，.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②若，求正整數(shù)的值；

若，，對(duì)任意給定的，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

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（1）求曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小值；

（2）若把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)，曲線與交于A，B兩點(diǎn)，求.

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A.他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)增加了2個(gè)

B.他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)沒(méi)有改變

C.因?yàn)轶w重在內(nèi)所占比例沒(méi)有發(fā)生變化，所以說(shuō)明健身對(duì)體重沒(méi)有任何影響

D.他們健身后，原來(lái)體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少

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