Question

【題目】設(shè)函數(shù)（）.

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，記，當(dāng)時，若函數(shù)與函數(shù)有兩個不同交點，，設(shè)線段的中點為，試問s是否為的根?說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）s不是的根，理由見解析

【解析】

(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分類討論可得:①若時,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增; ②若時，函數(shù)單調(diào)遞增; ③若時，當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增.

(2)構(gòu)造新函數(shù),求解導(dǎo)函數(shù)可得,欲證，故只需證明., 由于,是方程的兩個不相等的實根,不妨設(shè)為,代入方程化簡可得,故只需證明,化簡為,構(gòu)造 ，，通過求導(dǎo)可知在單調(diào)遞增.又,因此即可證明不成立.

（1）由，可知.

因為函數(shù)的定義域為，所以，

①若時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

②若時，當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；

③若時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）證明：由題可知（），

所以

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，

欲證，故只需證明.

設(shè)，是方程的兩個不相等的實根，不妨設(shè)為，

則

兩式相減并整理得，

從而，

故只需證明（*）

即.所以（*）式可化為，即

因為，所以，不妨令，即證，成立.

記，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

因此在單調(diào)遞增.又，因此，，故，，即不成立.

故s不是的根得證.