【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長為2,側(cè)棱長為2,過點A作一個與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

【答案】 （或2）

【解析】

由已知得△PAC為正三角形,取PC的中點G,得AG⊥PC,且AG.然后證明AG⊥EF,且求得AG與EF的長度,可得截面四邊形的面積；再求出四棱錐P﹣AEGF的體積與原正四棱錐的體積,則平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值可求.

解：如圖,

在正四棱錐P﹣ABCD中,由底面邊長為2,側(cè)棱長為,

可得△PAC為正三角形,取PC的中點G,得AG⊥PC,且AG.

設過AG與PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,連接EF,

則EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,

在△PAE與△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.

∴AG⊥EF.

在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC,

則在Rt△PGE中,得.

同理PF,則EF∥DB,得到.

∴；

則.

又,

∴平面α將此正四棱錐分成的上下兩部分體積的比為.

故答案為：；（或2）.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝axex，g（x）＝x2+2x+b，若曲線y＝f（x）與曲線y＝g（x）都過點P（1，c）．且在點P處有相同的切線l．

（Ⅰ）求切線l的方程；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）對任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；

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發(fā)熱且咳嗽

發(fā)熱不咳嗽

咳嗽不發(fā)熱

不發(fā)熱也不咳嗽

確診患病

200

150

80

30

確診未患病

150

150

120

120

（1）能否在犯錯率不超過0.001的情況下，認為新冠肺炎密切接觸者有發(fā)熱癥狀與最終確診患病有關(guān).

臨界值表：

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.645

7.879

10.828

（2）在全國人民的共同努力下，尤其是全體醫(yī)護人員的辛勤付出下，我國的疫情得到較好控制，現(xiàn)階段防控重難點主要在境外輸入病例和無癥狀感染者（即無相關(guān)臨床表現(xiàn)但核酸檢測或血清特異性免疫球蛋白M抗體檢測陽者）.根據(jù)防控要求，無癥狀感染者雖然還沒有最終確診患2019新冠肺炎，但與其密切接觸者仍然應當采取居家隔離醫(yī)學觀察14天，已知某人曾與無癥狀感染者密切接觸，而且在家已經(jīng)居家隔離10天未有臨床癥狀，若該人員居家隔離第天出現(xiàn)臨床癥狀的概率為，，兩天之間是否出現(xiàn)臨床癥狀互不影響，而且一旦出現(xiàn)臨床癥狀立刻送往醫(yī)院核酸檢查并采取必要治療，若14天內(nèi)未出現(xiàn)臨床癥狀則可以解除居家隔離，求該人員在家隔離的天數(shù)（含有臨床癥狀表現(xiàn)的當天）的分布列以及數(shù)學期望值.（保留小數(shù)點后兩位）

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（1）求證：平面；

（2）求證：直線與平面所成角的正弦值為，求的長度；

（3）若，線段上是否存在一點，使平面，若存在求的長度，若不存在則說明.

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①直線平面；②；③P，Q，H，R四點共面；④平面.其中正確的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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（2）在翻折過程中，當三棱錐的體積取最大時，求平面與平面所成的二面角的余弦值.

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