Question

【題目】【2017重慶二診】已知橢圓： 的左頂點為，右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于另一點，交軸于點， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線與橢圓交于兩點，連接（為坐標(biāo)原點）并延長交橢圓于點，求面積的最大值及取最大值時直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 面積的最大值為3，此時直線的方程為

【解析】（Ⅰ）由已知，易知求得點， 的坐標(biāo)，由，利用向量的坐標(biāo)表示可求得點坐標(biāo)，聯(lián)立右焦點坐標(biāo)及橢圓中關(guān)系式，代入橢圓方程進(jìn)行運算即可；（Ⅱ）由橢圓對稱性得， ，由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得的底邊長，再由點到直線距離公式求得的高，從而建立所求三角形面積的函數(shù)，通過求面積函數(shù)的最大值，從而問題可得解.

試題解析：（Ⅰ）由題知，故，代入橢圓的方程得，又，

故，橢圓；

（Ⅱ）由題知，直線不與軸重合，故可設(shè)，由得，

設(shè)，則，由與關(guān)于原點對稱知，

，

， ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

面積的最大值為3，此時直線的方程為