【題目】已知四棱錐中,底面為菱形,,平面,、分別是、上的中點,直線與平面所成角的正弦值為,點在上移動.
(Ⅰ)證明:無論點在上如何移動,都有平面平面;
(Ⅱ)求點恰為的中點時,二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)推導出AE⊥PA,AE⊥AD,從而AE⊥平面PAD,由此能證明無論點F在PC上如何移動,都有平面AEF⊥平面PAD.
(Ⅱ)以A為原點,AE為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值.
(Ⅰ)連接
∵底面為菱形,,
∴是正三角形,
∵是中點,∴
又,∴
∵平面,平面,
∴,又
∴平面,又平面
∴平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,兩兩垂直,以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
∵平面,
∴就是與平面所成的角,
在中,,即,
設,則,得,
又,設,則,
所以,
從而,∴,
則,,,,,
,,
所以,,,
設是平面一個法向量,則
取,得
又平面,∴是平面的一個法向量,
∴
∴二面角的余弦值為.
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【題目】某同學大學畢業(yè)后,決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè),經(jīng)過市場調(diào)查,生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元,每生產(chǎn)萬件,需另投入流動成本萬元,當年產(chǎn)量小于萬件時,(萬元);當年產(chǎn)量不小于7萬件時,(萬元).已知每件產(chǎn)品售價為6元,假若該同學生產(chǎn)的商品當年能全部售完.
(1)寫出年利潤(萬年)關于年產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)
(2)當年產(chǎn)量約為多少萬件時,該同學的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?
(取).
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面積S=c2,求sin C的值.
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【題目】如圖所示,由一塊扇形空地,其中,米,計劃在此扇形空地區(qū)域為學生建燈光籃球運動場,區(qū)域內(nèi)安裝一批照明燈,點、選在線段上(點、分別不與點、重合),且.
(1)若點在距離點米處,求點、之間的距離;
(2)為了使運動場地區(qū)域最大化,要求面積盡可能的小,記,請用表示的面積,并求的最小值.
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【題目】指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷它們的真假.
(1)x∈N,2x+1是奇數(shù);
(2)存在一個x∈R,使=0;
(3)對任意實數(shù)a,|a|>0;
(4)有一個角α,使sinα=.
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【題目】已知函數(shù)的最小正周期為,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再向下平移個單位長度,得到函數(shù)的圖像.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角中,角的對邊分別為,若,,求面積的最大值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知直線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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