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3.如圖,已知橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)的焦距為22,且經(jīng)過點(diǎn)(-2,0).過點(diǎn)D(0,-2)的斜率為k的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于P點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,直線BC交x軸于點(diǎn)Q.
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)試問:|OP|?|OQ|是否為定值?若是,求出定值;否則,說明理由.

分析 (Ⅰ)由題意可知:2c=22,c=2,經(jīng)過點(diǎn)(-2,0).則a=2,b2=a2-c2=2,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線l的方程為y=kx-2,代入橢圓方程,由△=64k2-16(1+2k2)>0,即可求得k的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則C(x1,-y1),由y=kx-2,令y=0,xP=2k,P(2k,0),令y=0,xQ=x2y1+x1y2y2+y1,由韋達(dá)定理及直線方程即可求得xQ=2k,|OP|?|OQ|=丨xP丨丨xQ丨=4,則|OP|?|OQ|為定值4.

解答 解:(Ⅰ)由題意可知:橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,2c=22,c=2,
經(jīng)過點(diǎn)(-2,0).則a=2,
b2=a2-c2=2,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:x24+y22=1
設(shè)直線l的方程為y=kx-2,
{y=kx2x24+y22=1,整理得:(1+2k2)x2-8kx+4=0,
由△=64k2-16(1+2k2)>0,得k212
∴k的取值范圍(-∞,-22)∪(22,+∞);
(Ⅱ)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則C(x1,-y1),
x1+x2=8k1+2k2,x1•x2=41+2k2
由y=kx-2,令y=0,xP=2k,P(2k,0),
設(shè)直線BC的方程為y=y2+y1x2x1(x-x1)+y1,
令y=0,xQ=x2y1+x1y2y2+y1,
則y1=kx1-2,y2=kx2-2,代入上式,
xQ=x2y1+x1y2y2+y1=2kx1x2x1+x2kx1+x24=2k×41+2k216k1+2k2k×8k1+2k24=2k,
∴|OP|?|OQ|=丨xP丨丨xQ丨=丨2k丨丨2k丨=4,為定值,
∴|OP|?|OQ|為定值4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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