Question

已知函數(shù)f（x），其中x∈R，f（1）=2，且f（x）在R上的導數(shù)滿足f′（x）＜1，則不等式f（x²）＜x²+1的解集為

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：根據(jù)f（x）在R上的導數(shù)滿足f′（x）＜1，討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，再得到不等式，解得即可．

解答： 解：根據(jù)f（x）在R上的導數(shù)滿足f′（x）＜1，討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為：
①當f′（x）＜0時得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
即當x²＜1時，得到f（x²）＞f（1）=2即x²+1＞2，解得x²＞1，矛盾；
②當0＜f′（x）＜1時得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
即當x²＞1時，得到f（x²）＞f（1）=2即x²+1＞2，解得x²＞1，
所以x＞1，或x＜-1
綜上，不等式f（x²）＜x²+1的解集為{x|x＞1或x＜-1}
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，會利用函數(shù)的單調(diào)性解決實際問題的能力