Question

如圖，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求證：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由正方形性質(zhì)得AA₁⊥AC，由面面垂直得AA₁垂直于這兩個平面的交線AC，由勾股定理得AC⊥AB，由此能證明AA₁⊥平面ABC．
（2）以A為原點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，求出平面A₁BC₁的法向量和平面B₁BC₁的一個法向量，由此利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

解答： （1）證明：因為AA₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC．
因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
且AA₁垂直于這兩個平面的交線AC，
又AA₁C₁C是邊長為4的正方形，AB=3，BC=5．
所以AC=4，AC²+AB²=BC²，即AC⊥AB，
又AA₁∩AB=A，
所以AA₁⊥平面ABC．
（2）解：由（1）知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，
則B（0，3，0），A₁（0，0，4），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4）．
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為

n

=（x，y，z），

A1B

=（0，3，-4），

A1C1

=（4，0，0），
則

n • A1B =3y-4z=0 n • A1C1 =4x=0

令z=3，則x=0，y=4，所以

n

=（0，4，3）．
同理可得，平面B₁BC₁的一個法向量為

m

=（3，4，0）．
所以cos＜n，m＞=

n•m

|n||m|

=

16

25

．
由題知二面角A₁BC₁B₁為銳角，
所以二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值為

16

25

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、二面角的求解等基礎(chǔ)知識和空間向量的立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．